근의공식, 성취기준에는 없는 말입니다 — 중학교가 요구하는 것과 고1에서 붙는 세 가지

📌 한눈에 보기

· 교육과정 성취기준 문장에 ‘근의 공식’ 이라는 말은 없습니다. 용어·기호 목록에 있습니다
· 중학교에 요구된 것은 「이차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다」 한 줄입니다
· 중학교는 해가 실수인 경우만 다루고 근과 계수의 관계는 다루지 않습니다
· 고1 공통수학1에서 허근·판별식·근과 계수의 관계 세 가지가 붙습니다
· 이 대조는 2015 개정과 2022 개정이 같습니다 — 올해 중3이든 중2든 그대로 적용됩니다

아이가 근의공식은 외웠다고 합니다. 그런데 시험지를 받아 보면 이차방정식 문제에서 점수가 빠져 있습니다. 공식을 못 외운 것도 아닌데 왜 틀리는지 설명이 안 되니, 문제집을 더 풀리는 쪽으로 결론이 납니다.

이 지점에서 한 번 확인해 볼 만한 자료가 있습니다. 교육부가 고시한 수학과 교육과정 원문입니다. 학교 시험은 이 문서의 성취기준을 근거로 출제되고, 거기에는 공식을 외우라는 요구가 아니라 다른 말이 적혀 있습니다.

교육부 고시 제2022-33호 【별책 8】 수학과 교육과정 원문과, 그 앞 교육과정인 고시 제2015-74호 별책8을 함께 내려받아 같은 대목을 글자 단위로 맞춰 봤습니다. 이 글은 그 대조 결과입니다. 아이 학년이 올해 중3인지 중2인지에 따라 적용되는 교육과정이 다른데, 결론부터 말하면 이 부분은 양쪽이 같았습니다.

근의공식은 교육과정에 어떻게 적혀 있나요?

2022 개정 수학과 교육과정 전문에서 ‘근의 공식’ 이라는 말이 나오는 자리는 세 곳입니다. 그리고 세 곳 모두 성취기준 문장이 아닙니다.

첫째는 중학교 ‘변화와 관계’ 영역의 (나) 성취기준 적용 시 고려 사항에 있는 용어와 기호 목록입니다. 「인수, 인수분해, 완전제곱식, 이차방정식, 중근, 근의 공식, 이차함수(…)」 처럼 그 영역에서 다루는 말들을 죽 늘어놓은 자리입니다. 나머지 두 곳은 고등학교 「기본수학1」 쪽 서술입니다.

성취기준이란 학교가 무엇을 가르치고 평가할지 정하는 문장입니다. 용어 목록은 그 문장에 딸린 부속 자료입니다. 근의공식은 학교가 달성해야 할 목표가 아니라, 목표를 달성하는 과정에서 쓰는 도구로 놓여 있습니다.

참고로 2022 개정 수학과 교육과정 전문에서 ‘암기’ 라는 말은 딱 한 번 나옵니다. 중학교가 아니라 융합 선택 과목 「경제 수학」의 고려 사항이고, 문장은 이렇습니다.

원리합계와 연금을 구하는 경우 공식을 암기한 후 계산을 반복하기보다는 주어진 상황에 맞는 적절한 수학적 개념과 표현을 사용하는 데 중점을 둔다.

— 교육부 고시 제2022-33호 【별책 8】 수학과 교육과정, 「경제 수학」 (나) 성취기준 적용 시 고려 사항

다른 과목 이야기이니 이차방정식에 그대로 옮겨 쓸 수는 없습니다. 다만 교육과정이 ‘공식 암기 후 계산 반복’ 을 어떤 위치에 두는지는 읽어 둘 만합니다. 2015 개정 수학과 교육과정에는 ‘암기’ 도 ‘외우다’ 도 한 번도 나오지 않습니다.

그럼 중학교에서 요구하는 건 무엇인가요?

딱 한 줄입니다.

[9수02-20] 이차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.

서술어가 둘입니다. ‘풀 수 있다’ 와 ‘활용하여 문제를 해결할 수 있다’. 공식을 외우는 것은 앞쪽 절반에 들어가는 일이고, 그것도 전부가 아닙니다. 교육과정이 배치한 순서를 보면 이차방정식 바로 앞 소영역이 「다항식의 곱셈과 인수분해」이고, 성취기준은 「[9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해를 할 수 있다」입니다.

그래서 아이가 공식을 외웠는데도 막힌다면, 확인할 자리가 공식 바깥에 있을 수 있습니다. 식을 공식에 넣을 수 있는 모양으로 정리하는 단계입니다. 문장으로 주어진 상황을 식으로 옮기는 단계도 그렇습니다. 공식은 그 사이에 한 번 쓰입니다.

중학교에서는 어디까지만 묻나요?

교육과정은 다루지 않을 것까지 적어 둡니다. 중학교 ‘변화와 관계’ 영역의 (나) 성취기준 적용 시 고려 사항에 두 문장이 있습니다.

이차방정식은 해가 실수인 경우만 다룬다.

이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.

— 교육부 고시 제2022-33호 【별책 8】 수학과 교육과정, 중학교 ‘변화와 관계’ (나) 성취기준 적용 시 고려 사항

두 문장은 2015 개정 교육과정에도 글자까지 같게 들어 있습니다. 다만 적힌 자리가 다릅니다. 2015 개정에서는 「해가 실수인 경우만」 이 (나) 교수･학습 방법 및 유의 사항에, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」 가 (다) 평가 방법 및 유의 사항에 있었습니다. 뒤쪽 문장은 시험에 내지 말라는 쪽에 분명히 놓여 있었던 셈입니다.

학부모 입장에서 이 두 줄은 이렇게 읽힙니다. 중학교 시험에서 근의공식으로 구한 답이 실수가 아닌 경우는 나오지 않습니다. 두 근을 더하거나 곱해서 계수와 견주는 문제도 나오지 않습니다. 그 범위 안에서 공식은 끝까지 통합니다. 그래서 중학교까지는 외워서 버틸 수 있습니다.

고1에서는 무엇이 더 붙나요?

중학교에서 빼 두었던 것이 거의 그대로 돌아옵니다. 공통수학1 ‘방정식과 부등식’ 영역의 성취기준입니다.

고1 공통수학1에서 이차방정식에 붙는 성취기준

수의 범위도 함께 넓어집니다. 같은 영역의 고려 사항에는 「[10공수1-02-02] 이차방정식은 계수가 실수인 경우만 다루고, 이차방정식은 복소수 범위에서 항상 근을 갖는다는 것을 이해하게 한다」 고 적혀 있습니다. 중학교에서 「해가 실수인 경우만」 이라고 닫아 두었던 문이 여기서 열립니다.

이 세 가지는 2015 개정 고1 ‘수학’ 에도 있었습니다. 허근은 「[10수학01-06] 이차방정식의 실근과 허근의 뜻을 안다」 였습니다. 판별식은 「[10수학01-07] 이차방정식에서 판별식의 의미를 이해하고 이를 설명할 수 있다」, 근과 계수는 「[10수학01-08] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해한다」 입니다. 2022 개정에서 달라진 것은 요구 수준입니다. ‘뜻을 안다’ 와 ‘이해한다’ 가 ‘설명할 수 있다’ 로 올라갔고, 실근·허근과 판별식이 한 성취기준으로 묶였습니다.

설명할 수 있다는 것은 답을 맞히는 것과 다른 일입니다. 공통수학1 전체가 이런 서술어로 어떻게 짜여 있는지는 공통수학1 공부법 — 고1 수학에 '행렬'이 돌아왔습니다, 성취기준 19개 전부 보기 (2022 개정)에 성취기준 19개를 전부 옮겨 두었습니다.

올해 중3과 중2는 교육과정이 다른데, 같은 이야기인가요?

같습니다. 그리고 이 질문은 따로 확인할 필요가 있었습니다. 2022 개정 교육과정은 학년별로 나누어 시행되기 때문입니다.

2022 개정 교육과정 적용 시점 (고시 제2022-33호 부칙)

그래서 올해 중3은 2015 개정으로 이차방정식을 배우고, 올해 중2는 내년에 2022 개정으로 배웁니다. 서로 다른 문서를 보는 셈입니다. 그런데 해당 대목을 맞춰 보면 성취기준 문장이 글자까지 같습니다. 2015 개정에는 「[9수02-13] 이차방정식을 풀 수 있고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다」 로 적혀 있습니다. 2022 개정은 같은 문장에 코드만 「[9수02-20]」 으로 달려 있습니다. 바뀐 것은 번호뿐입니다.

앞에서 본 두 한정 문장도 양쪽에 다 있습니다. 적힌 블록만 옮겨졌습니다. 그러니까 이 글의 내용은 지금 중3 학부모와 중2 학부모가 똑같이 쓰실 수 있습니다. 교육과정이 바뀌면서 이차방정식 쪽은 손대지 않았다고 보는 게 맞습니다.

겨울방학에는 무엇을 확인하면 될까요?

교육과정이 적어 둔 순서를 그대로 뒤집어 보면 확인할 자리가 나옵니다. 점수로 선을 긋는 대신, 아이가 할 수 있는지 없는지로 보는 쪽이 정확합니다.

• 인수분해를 되돌릴 수 있는지. 곱셈과 인수분해는 서로 반대 방향입니다. 전개는 되는데 거꾸로 묶는 쪽에서 손이 멈추면, 이차방정식에서 공식 말고 다른 길이 전부 막힙니다
• 식을 공식에 넣을 모양으로 정리하는지. 항을 한쪽으로 모으고 정리하는 과정에서 부호가 틀리면, 공식을 정확히 외웠어도 답이 틀립니다. 이 경우 틀린 이유가 공식으로 보이지 않습니다
• 문장으로 된 문제를 식으로 옮기는지. 성취기준의 뒷절 ‘활용하여 문제를 해결할 수 있다’ 가 여기입니다. 계산은 되는데 활용 문제만 비는 성적표가 이 신호입니다
• 인수분해로 끝나는 문제를 공식으로 돌아가는지. 더 빠른 길을 못 보고 매번 공식을 쓰면 시간이 모자랍니다. 틀리지는 않으니 발견이 늦습니다

네 가지 중 어디서 멈추는지는 문제집 진도로는 보이지 않습니다. 아이가 푸는 과정을 옆에서 한 번 보거나, 틀린 문제의 풀이를 말로 설명하게 해 보면 드러납니다. 고1에서 ‘설명할 수 있다’ 를 요구한다는 걸 생각하면, 그 연습 자체가 겨울방학에 해 둘 일이기도 합니다.

겨울방학 전체를 어떻게 쓸지는 예비 고1 수학 공부법 — 중3 겨울방학에 공통수학1 준비하는 법 (2022 개정)에 정리해 두었습니다. 중3 2학기 단원들이 고등학교로 어떻게 이어지는지는 중3 이차함수·삼각비 공부법 — 중3 2학기 수학 단원별 정리와 고등 연결 (중3 로드맵), 2022 개정이 먼저 적용된 학년의 수학은 중2 수학 공부법 — 일차함수·증명·확률, 2022 개정 성취기준 원문으로 보기 (첫 적용 학년)에서 보실 수 있습니다.