미적분Ⅱ 공부법 — 성취기준 23개 중 11개가 미분법, 증명을 요구하는 성취기준은 0개입니다 (2022 개정, 진로 선택)

📌 한눈에 보기

· 미적분Ⅱ(미적분2)는 2022 개정 수학과 진로 선택 과목이고, 성취기준은 23개입니다. 수열의 극한 5개, 미분법 11개, 적분법 7개입니다.
· 성취기준 문장 23개에 「증명」이 들어간 문장은 한 개도 없습니다. 문장 끝 동사로 보면 15개가 판정·구하기·미분·그리기·해결 같은 풀이형입니다.
· 「미분할 수 있다」로 끝나는 문장은 6개이고, 미분하는 대상이 문장마다 다릅니다. 지나치게 복잡한 문제나 계산은 다루지 않는다는 문장이 세 영역에 하나씩 있습니다.
· 2028학년도 수능 수학은 대수·미적분Ⅰ·확률과 통계를 출제하고, 미적분Ⅱ는 수능에 포함하지 않는다고 확정안에 적혀 있습니다.

미적분Ⅱ 시험 범위를 받아 온 아이에게 "미적분Ⅰ보다 훨씬 어려워진다던데" 하는 말을 들으면, 어디까지 준비시켜야 할지 막막합니다. 범위가 넓어 보이고 문제집은 두껍습니다.

그래서 교육과정 원문에서 이 과목이 학생에게 요구하는 문장을 하나씩 세어 봤습니다. 대상은 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정의 미적분Ⅱ 성취기준 23개입니다. 요구하는 행동은 한쪽에 모여 있었고, 영역마다 범위를 좁혀 둔 곳도 있었습니다.

같은 수학과 진로 선택 과목인 기하는 기하 공부법 — 이차곡선과 직선은 '접하는 경우만' 다룹니다, 성취기준 14개 (2022 개정, 진로 선택)에 따로 정리했습니다.

미적분Ⅱ는 어떤 과목이고, 성취기준은 몇 개인가요?

미적분Ⅱ란, 수열의 극한과 미분법, 적분법을 다루는 2022 개정 수학과 진로 선택 과목입니다. 흔히 미적분2라고도 부릅니다. 원문의 성격 문장은 이렇습니다.

<미적분Ⅱ>는 사회 및 자연 현상을 탐구하는 데 필요한 미적분 내용을 폭넓게 이해하고 탐구하는 과목이다.

— 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 · 성격

누가 고르는 과목인지도 적혀 있습니다. 「<미적분Ⅱ>는 자신의 진로와 적성을 고려하여 미적분에 대한 지식과 기능을 습득하기를 원하는 학생들이 선택할 수 있다.」 이 과목의 내용이 어디에 쓰이는지도 적혀 있습니다. 「<미적분Ⅱ>에서 학습한 내용은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라 경제⋅경영학을 포함한 사회과학, 인문학, 예술 및 체육 분야를 학습하는 데 기초가 된다.」

미적분Ⅱ 성취기준 — 영역별 수와 내용 요소

성취기준 23개 중 11개, 절반 가까이가 미분법입니다.

성취기준 문장은 학생에게 무엇을 하라고 적혀 있나요?

23개 문장의 맨 끝 동사를 세어 봤습니다. 판정하다 2개, 구하다 3개, 미분하다 6개, 그리다 1개, 해결하다 3개로 15개가 풀이·판정형입니다. 활용하다로 끝나는 문장이 4개, 설명하다·이해하다·인식하다로 끝나는 문장이 4개입니다. 풀이·판정형이라는 묶음은 원문 표현이 아니라 이 글에서 나눈 분류입니다. 활용으로 끝나는 4개도 앞 절에 「합을 구하고」「덧셈정리를 설명하고」「치환적분법을 이해하고」처럼 먼저 해야 할 일이 적혀 있습니다.

성취기준 문장 23개 중 「증명」이 들어간 문장은 0개입니다. 증명 문제를 따로 준비하라는 근거는 원문의 성취기준에서 찾을 수 없습니다. 다만 교수·학습 방법에는 추측을 일반화하고 증명하는 활동이 적혀 있어서, 성취기준에 없다고 수업에서 완전히 빠진다는 뜻은 아닙니다. 지필평가에 어떤 문항을 쓸 수 있는지는 이렇게 적혀 있습니다.

지필평가는 수학 내용 체계의 지식⋅이해, 과정⋅기능을 평가하는 데 활용할 수 있고, 선택형, 단답형, 서⋅논술형 등의 다양한 문항 유형을 사용할 수 있다.

— 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 · 평가 방법

서·논술형도 쓸 수 있다고 했으니, 풀이 과정을 글로 쓰는 연습은 따로 해 둘 만합니다. 학교 시험 문항은 학교가 내므로 실제 유형은 학교가 안내한 평가 계획으로 확인합니다.

미분법의 6개 문장은 읽어 볼 만합니다. 같은 「미분할 수 있다」인데 대상이 다 다릅니다.

「미분할 수 있다」로 끝나는 성취기준 6개

지수·로그함수, 사인·코사인함수, 함수의 몫, 합성함수, 매개변수로 나타낸 함수, 음함수와 역함수까지 여섯 가지 문장이 각각 하나의 성취기준입니다. 한꺼번에 섞어서 연습하기 전에 대상별로 기본 문제가 풀리는지 하나씩 확인하면 어디서 막히는지가 보입니다.

그래프를 그리는 [12미적Ⅱ-02-09]의 해설은 이렇습니다. 「위로 볼록, 아래로 볼록과 변곡점을 설명하기 위해 이계도함수의 기하적 의미를 다룬다.」

교육과정이 '복잡한 문제는 다루지 않는다'고 선을 그은 곳은 어디인가요?

영역마다 붙은 '성취기준 적용 시 고려 사항'에 범위를 좁혀 둔 문장이 있습니다. 지나치게 복잡한 문제는 다루지 않는다는 취지의 문장이 수열의 극한, 미분법, 적분법에 하나씩 있고, 미분법에는 「간단한 것만」 다룬다는 문장이 더 있습니다.

범위를 좁혀 둔 문장 (원문)

지수함수와 로그함수의 극한도 목적이 정해져 있습니다. 해설은 「지수함수와 로그함수의 극한은 (…) 도함수를 구하는 데 필요한 정도로 간단히 다룬다.」라고 적었습니다. 지수·로그함수의 극한은 도함수를 구하는 데 필요한 만큼만 다룬다는 뜻으로 읽힙니다.

이 문장들은 교육과정이 적은 기준이고, 학교 시험이 반드시 그 안에서만 나온다는 보장은 아닙니다. 학교마다 출제 범위를 안내하니 시험 전에 확인합니다. 수업 중 계산 도구는 이렇게 허용합니다. 「계산 기능 함양을 목표로 하지 않는 교수⋅학습 상황에서는 복잡한 계산을 할 때 공학 도구를 이용할 수 있게 한다.」 시험에서 쓸 수 있는지는 학교 평가 계획으로 확인합니다. 범위를 좁혀 두는 방식은 기하 공부법 — 이차곡선과 직선은 '접하는 경우만' 다룹니다, 성취기준 14개 (2022 개정, 진로 선택)에도 나옵니다.

수열의 극한, 미분, 적분은 어디서 이어지나요?

내용 체계의 핵심 아이디어는 영역마다 한 문장씩입니다.

• 수열의 극한 — 「수열의 극한은 무한을 수학적으로 다루기 위한 도구이며 수열과 급수의 수렴과 발산을 판정하는 데 활용된다.」
• 미분법 — 「다양한 미분법을 활용하면 여러 가지 함수의 도함수를 효율적으로 구하고 변화 현상에 대해 심층적으로 탐구할 수 있다.」
• 적분법 — 「다양한 적분법을 활용하면 도형의 넓이 또는 부피, 움직이는 물체의 속도 또는 거리를 효율적으로 계산할 수 있다.」

세 영역이 따로 노는 것은 아닙니다. 정적분과 급수가 이어지는 자리가 있습니다. 적분법의 [12미적Ⅱ-03-04]는 「정적분과 급수의 합 사이의 관계를 탐구하고 이해한다.」이고, 고려 사항은 방법까지 정해 두었습니다. 「주어진 영역의 넓이를 직사각형 넓이의 합의 극한으로 나타내 봄으로써 정적분과 급수의 합 사이의 관계를 이해할 수 있게 한다.」

직사각형 넓이의 합의 극한으로 정적분을 이해하라는 설명입니다. 급수를 건너뛰고 적분으로 넘어가면 이 연결이 보이지 않을 수 있으니, 급수가 약하다면 적분 단원 전에 먼저 되짚어 볼 만합니다.

속도도 두 영역을 잇습니다. 미분법에는 「속도와 가속도에 대한 문제」, 적분법에는 「속도와 거리에 대한 문제」에 활용하는 성취기준이 하나씩 있습니다.

수능에 나오지 않는다는데, 공부해야 하나요?

2028학년도 수능 수학의 출제 과목은 교육부 자료에 「출제과목 : 대수, 미적분I, 확률과 통계」로 적혀 있습니다. 미적분Ⅱ는 빠졌습니다. 확정안의 문장은 이렇습니다.

(…) 국가교육위원회 의결 내용을 존중하여, 심화수학(미적분Ⅱ·기하)은 수능에 미포함

— 교육부, 2028 대학입시제도 개편 확정안(2023.12.27)

빠진 이유도 국가교육위원회 의결 내용에 적혀 있습니다. 「고교학점제를 통해 심화수학 학습 결과를 대학이 평가할 수 있으므로, 통합형·융합형 수능 개편의 취지에 맞게 심화수학 제외」입니다. 수능에서는 빠졌지만 학교에서 이수한 결과를 대학이 평가할 수 있다는 설명입니다. 학교에서 이 과목을 배우면 학교 평가 계획에 따라 평가를 받습니다. 수능 과목과 학교 편성표를 함께 보는 법은 예비 고2 겨울방학, 과외를 붙여야 할까 — 2028 수능 출제 과목과 학교 편성표로 정하는 법에, 고1 때 과목을 고르는 기준은 고교학점제 과목 선택 — 고1 2학기, 학부모가 함께 봐야 할 것 (2022 개정)에 정리했습니다.

미적분Ⅱ를 몇 학년에 배우는지는 이 과목의 교육과정 원문에 적혀 있지 않습니다. 학교 편성표에서 확인하면 됩니다.

시험 범위를 받으면 어떤 순서로 나눠 준비하나요?

• 영역 표시 — 시험 범위가 수열의 극한, 미분법, 적분법 중 어느 영역에 걸리는지 먼저 표시합니다.
• 미분 대상 확인 — 범위에 든 미분 대상(지수·로그, 사인·코사인, 몫, 합성, 매개변수, 음함수·역함수)마다 기본 문제가 풀리는지 하나씩 확인합니다.
• 치환·부분적분 — 원문이 「이해하고, 이를 활용할 수 있다」로 적었으니 방법을 이해한 뒤에 문제로 넘어갑니다.
• 풀이 쓰기 — 서·논술형이 가능하니 한두 문제는 풀이 과정을 글로 끝까지 써 봅니다.

아래는 파인티처 고등 수학 여운영 선생님의 미적분 수업 샘플 영상입니다. 미적분 수업이 어떤 식으로 진행되는지 참고해 보세요.

※ 과목 개설과 이수 시기, 시험 범위와 평가 방식은 학교마다 다릅니다. 학교가 안내한 평가 계획을 함께 확인하세요.